Série 3

Question

À l’aide d’un diagramme de Karnaugh, simplifiez \(S = A B^\prime + B^\prime CD + A^\prime B + B^\prime D + A^\prime B^\prime D\) en produit de sommes.

Réponse

\[S = (A^{\prime} +B^{\prime} )(A+B+D)\]

Question

À l’aide d’un diagramme de Karnaugh, simplifiez \(S = ( A^\prime + B^\prime + C + D)(A+B^\prime +C^\prime +D)(A^\prime +B^\prime +C+D^\prime )(A+B^\prime +C^\prime +D^\prime )(A+C^\prime +D)\) en tenant compte des cas facultatifs suivants: \(\sum(3,8,11,14)\). Donnez une solution qui n’utilise pas l’entrée \(D\).

Réponse

1. Diagramme de Karnaugh

\[S = AB^{\prime}+AC+A^{\prime}C^{\prime}\]

Question

À l’aide de la méthode Quine-McCluskey, simplifiez l’expression logique suivante: \(F= A^\prime BCDEF^\prime + A^\prime BCDEF+ AB^\prime CDEF+ ABCDEF^\prime\) Tenez compte des cas facultatifs suivants: \(A^\prime BCD^\prime EF^\prime + ABCDE^\prime F^\prime + A^\prime BCDE^\prime F+ ABCDEF\)

Réponse

	011110	011111	101111	111110		011010	011101	111100	111111
011-10	X					X
0111-0		X					X
1111-0				X				X
-11111		X							X
1-1111			X						X
-1111-	X	X		X					X

i.p.e. = −1111−, 1−1111

i.p.i. = 011−10, 0111−0, 1111−0, −11111

Question

Complétez la figure ci-dessous pour obtenir un multiplicateur dont la sortie (5 bits) est le produite de deux entrées (de 3 bits et 2 bits, respectivement). Comme on peut voir sur la figure, on dispose de quatre additionneurs complets à 1 bit et de six portes ET. La multiplication sera \((P_4, P_3, P_2, P_1, P_0)_2 = (y_2, y_1, y_0)_2 \times (z_1, z_0)_2\)

Réponse

Question

Considérez la fonction logique \(F\) définie par le tableau de vérité suivant

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)		\(F\)
0	0	0	0		0
0	0	0	1		1
0	1	0	0		0
0	1	0	1		0
0	0	1	0		1
0	0	1	1		0
0	1	1	0		0
0	1	1	1		1
1	0	0	0		0
1	0	0	1		1
1	1	0	0		0
1	1	0	1		1
1	0	1	0		0
1	0	1	1		0
1	1	1	0		0
1	1	1	1		1

Vous devez réaliser cette fonction au moyen d’un multiplexeur à huit entrées sans utiliser la variable \(A\) dans les lignes de sélection. Complétez le tableau de réalisation et la figure ci-dessous.

	\(E_0\)	\(E_1\)	\(E_2\)	\(E_3\)	\(E_4\)	\(E_5\)	\(E_6\)	\(E_7\)
0
\(A\)
\(A^{\prime}\)
1

Réponse

	\(E_0\)	\(E_1\)	\(E_2\)	\(E_3\)	\(E_4\)	\(E_5\)	\(E_6\)	\(E_7\)
0	X			X	X		X
\(A\)						X
\(A^{\prime}\)			X
1		X						X

Question

Simplifiez la fonction logique à six entrées \(S = F(A,B,C,D,E,F)\) représentée par la liste de minterms suivants

010000, 101000, 110100, 110101, 110110, 111100

en tenant compte des cas facultatifs représentés par les minterms suivants

000000, 001100, 000111, 101001, 110111

par la méthode de Quine-McCluskey. Vous devez donner le détail de toutes les étapes, remplir les tableaux de couverture initial et réduit, identifier les impliquants premiers essentiels (i.p.e.), les impliquants premiers absolument inessentiels (i.p.a.i.) et les impliquants premiers inessentiels tout court (i.p.i.). Donnez la solution sous la forme d’une expression en \(A,B,C,D,E,F\).

Réponse

	010000	101000	110100	110101	111100	110110		000000	001100	000111	101001	110111
001100									X
000111										X
0−0000	X							X
10100−		X									X
11−100			X	X
1101−0			X		X
1101−−			X	X		X						X

i.p.e. = 1101−−, 1101−0, 10100−, 0−0000

i.p.a.i. = 11−100, 000111, 001100

Question

Réalisez les fonctions logiques suivantes au moyen d’un multiplexeur 4- vers-1.

1. \[f_1(a,b,c) = \sum m(2, 4, 5, 7)\]
2. \[f_2(a,b,c) = \prod M(0, 6, 7)\]

Réponse

1. 

2. 

Question

Identifiez la fonction réalisée par le circuit ci-dessous, en donnant la liste des minterms en fonction des entrées \(a, b, c\) et \(d\)

Réponse

\[F (a, b, c, d)= \sum m(0, 5, 10, 15)\]

Question

Un circuit combinatoire est défini par les trois fonctions logiques suivantes. Dessinez un circuit réalisant ces trois fonctions en utilisant un décodeur constitué de portes NAND (vous devez dessiner le schéma du décodeur), et des portes NAND et ET externes.

\[F_1 = x y^{\prime} + x^{\prime}y z^{\prime}\] \[F_2 = (x + y^{\prime})z\] \[F_3 = (x^{\prime} y + x y^{\prime} z)^{\prime}\]

Réponse

Question

Simplifiez la fonction donnée par l’expression suivante \(a^{\prime} b^{\prime} c d + a b c d + a b^{\prime} c^{\prime} d + a b c d^{\prime}\) en considérant les cas facultatifs suivants \(a b c^{\prime} + a^{\prime} b c^{\prime} d^{\prime} + a b^{\prime} c d^{\prime}\) par la méthode de Quine-McCluskey. Vous devez donner le détail de toutes les étapes, identifier à la fin les impliquants premiers essentiels (i.p.e.), les impliquants premiers absolument inessentiels (i.p.a.i.) et les impliquants premiers inessentiels tout court (i.p.i.). et donner la solution finale avec les variables.

Réponse

	0011	1001	1110	1111		0100	1100	1010
0011	X
1001		X
1010								X
−100						X	X
11−0			X				X
111−			X	X

i.p.e. = 111−, 1001, 0011

i.p.a.i. = 11−0, −100, 11−0

Question

Concevez un circuit qui permet de comparer deux mots de 3 bits et qui donne 1 lorsqu’ils sont égaux et 0 sinon. Vous devez utiliser des portes XOR et d’autres portes.

Réponse

Question

La fonction logique à quatre entrées \(S = F(A,B,C, D)\) donnée par son tableau de vérité:

\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)		\(S\)
0	0	0	0		0
0	0	0	1		1
0	1	0	0		0
0	1	0	1		1
0	0	1	0		X
0	0	1	1		0
0	1	1	0		0
0	1	1	1		1
1	0	0	0		X
1	0	0	1		1
1	1	0	0		0
1	1	0	1		0
1	0	1	0		0
1	0	1	1		1
1	1	1	0		X
1	1	1	1		1

doit être implémentée par un circuit logique.

1. Simplifiez la description de cette fonction en utilisant un diagramme de Karnaugh.

2. Trouvez le tableau de couverture pour la fonction et réduisez-le en tableau réduit.

3. Identifiez les impliquants premiers essentiels (i.p.e.), les impliquants premiers absolument inessentiels (i.p.a.i.) et les impliquants premiers inessentiels tout court (i.p.i.).

4. Dessinez le circuit logique simplifié, réalisé en n’utilisant que des portes NAND.

Réponse

1. Diagramme de Karnaugh

   \(S = A^{\prime}C^{\prime}D + BCD + AB^{\prime}D\)

2. Tableau de couverture:

	0001	0101	0111	1001	1011	1111		0010	1000	1110
0010								X
0−01	X	X
−001	X			X
100−				X					X
01−1		X	X
10−1				X	X
−111			X			X
1−11					X	X
111−						X				X

Tableau de couverture réduit:

	0001	0101	0111	1001	1011	1111		0010	1000	1110
0−01	X	X
−001	X			X
01−1		X	X
10−1				X	X
−111			X			X
1−11					X	X

1. i.p.e. = 0-01, 10-1,-111

   i.p.a.i. = 0010,100-,111-

   i.p.i. = 1-11, 01-1, -001

2. 

Question

Un circuit combinatoire est défini par les trois fonctions logiques suivantes. Dessinez un circuit réalisant ces trois fonctions en utilisant un décodeur et des portes externes.

\[F_1 = x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime} + xz\] \[F_2 = x y z^{\prime} + x^{\prime} y\] \[F_3 = x^{\prime} y^{\prime} z + x y\]

Réponse

Question

Identifiez la fonction logique \(F(A,B,C,D)\) définie par le circuit logique suivant:

1. Donnez son tableau de vérité.

2. Donnez la forme canonique somme de produits de cette fonction.

Réponse

1. Tableau de vérité

   \(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)		\(F\)
   0	0	0	0		1
   0	0	0	1		0
   0	0	1	0		1
   0	0	1	1		0
   0	1	0	0		0
   0	1	0	1		1
   0	1	1	0		0
   0	1	1	1		1
   1	0	0	0		1
   1	0	0	1		1
   1	0	1	0		0
   1	0	1	1		0
   1	1	0	0		0
   1	1	0	1		0
   1	1	1	0		1
   1	1	1	1		1

1. Forme canonique \(F (A, B, C, D) = \sum m(0, 2 , 5, 7, 8, 9, 14, 15)\)

Question

Trouvez l’expression minimale pour les deux fonctions suivantes, sachant qu’elles doivent être implémentées dans un même circuit. Utilisez la méthode Quine-McCluskey. \(F_1(A, B, C, D) =\sum(2,5,6,7,10,11,14,15)\) \(F_2 = A B C D + A^\prime B C D + A^\prime B^\prime C D + A B^\prime C + ABC\)

Réponse

\[F_1(A,B,C,D) = A C + A^{\prime} B D + C D^{\prime}\] \[F_2(A,B,C,D) = A C + C D\]

Question

La fonction logique à trois entrées \(S = F(A,B,C)\) représentée par le tableau de vérité:

A	B	C	S
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

doit être implémentée par un circuit logique.

1. Donnez l’expression de cette fonction:

   • Selon la première forme canonique ( \(\sum m_i\) )

   • Selon la deuxième forme canonique ( \(\prod M_i\) )

2. Trouvez une expression simplifié pour cette fonction en utilisant un diagramme de Karnaugh en format horizontal.

3. Donnez l’expression du complément de cette fonction:

   • Selon la première forme canonique ( \(\sum m_i\) )

   • En complémentant votre expression simplifiée au moyen du théorême de DeMorgan.

4. Dessinez le circuit logique à partir de l’expression simplifiée trouvée.

Réponse

1. \[S (A, B, C) = \sum m(0, 1 , 3, 6, 7) = \prod M(2, 4, 5)\]

2. 

   \[S = A^{\prime} B^{\prime} + B(A + C)\]
3. \[S^{\prime}(A,B,C) = \sum m(2,4,5)\]
4. 

Question

Simplifiez la fonction logique donnée par la forme canonique suivante: \(m_0 + m_2 + m_4 + m_5 + m_8 + m_A + m_B + m_E\) au moyen d’un diagramme de Karnaugh (la numérotation des termes est en hexadécimal). Identifiez sur le diagramme les regroupements essentiels, les regroupements absoluments inutiles et les regroupements pour lesquels on a le choix. Donnez deux solutions aussi simplifiées.

Réponse

Les regroupements essentiels: orange, mauve, bleu, vert. Le regroupement jaune est absolument inutile.

\[S = B^{\prime} (D^{\prime}+ AC) + A^{\prime}BC^{\prime} + ACD^{\prime}\] \[S = B^{\prime}D^{\prime} + A^{\prime}BC^{\prime} + AC(D^{\prime} + B^{\prime})\]

Question

Considérez la fonction logique définie par l’expression \(F = (A + B) A^{\prime} C + C^{\prime}(A+B^{\prime}) + A^{\prime}B C^{\prime}\)

1. Dessinez le circuit logique correspondant.

2. Dessinez un circuit équivalent qui n’utilise que des portes NAND.

3. Dessinez un circuit équivalent qui n’utilise que des portes NOR.

4. Dessinez un circuit équivalent qui ne comporte que 3 niveaux de portes (incluant les inversions).

Réponse

1. 
2. 
3. 
4. 

Question

Donnez le tableau de vérité pour les fonctions logiques correspondant à:

1. \[f(A, B) = A + B^{\prime}\]
2. \[f(a, b, c) = a(b+c^{\prime})(b^{\prime}+c)\]

Réponse

1. \(A\)	\(B\)		\(f\)
   0	0		1
   0	1		0
   1	0		1
   1	1		1

1. \(a\)	\(b\)	\(c\)		\(f\)
   0	0	0		0
   0	0	1		0
   0	1	0		0
   0	1	1		0
   1	0	0		1
   1	0	1		0
   1	1	0		0
   1	1	1		1

Question

Considérez la fonction logique donnée par l’expression suivante:

\[F = A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime + {A} B^\prime C^\prime D^\prime E^\prime + A^\prime B^\prime {C} D^\prime E^\prime + A^\prime {B} {C} {D} E^\prime + {A} {B} C^\prime D^\prime {E} + {A} B^\prime C^\prime D^\prime {E} + {A} B^\prime D^\prime E^\prime + {A} B^\prime {C} {D} {E} + {A} B^\prime {C} D^\prime {E}\]

Les cas suivants sont facultatifs:

\[A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime {E} + {A} {B} C^\prime {D} {E} + A^\prime B^\prime {C} D^\prime {E} + {A} {B} {C} D^\prime {E}.\]

1. Simplifiez cette expression logique par la méthode de Quine-McCluskey, en tenant compte des cas facultatifs. Identifiez clairement les implicants essentiels et non-essentiels.

2. Dessinez un réseau logique qui réalise votre expression logique simplifiée en n’utilisant que des portes NAND.

   Réponse

3. Tableau

	00000	10000	00100	10001	10100	01110	11001	10101	10111		00001	00101	11011	11101
−0−0−	X	X	X	X	X			X			X	X
01110						X
101−1								X	X
110−1							X						X
1−−01				X			X	X						X

i.p.e. = -0-0-, 01110, 101-1, 1–01

i.p.a.i = 110-1

1. Réseau logique

Question

Vous devez concevoir un circuit logique combinatoire qui calcule la valeur absolue d’un nombre de 4 bits signé en complément à deux. Les seules valeurs d’entrée possibles sont donc de -7 à 7 inclusivement, les autres nombres seront considérées comme des cas facultatifs. Vous disposez de composants programmables pour réaliser cette fonction.

1. Réalisez votre circuit logique combinatoire en utilisant un PROM à quatre entrées et deux sorties tel qu’illustré. Vous devez mettre des croix aux endroits où vous voulez que les connections soient effectuées (dans la section programmable).

1. Réalisez votre circuit logique combinatoire en utilisant le PAL à quatre entrées et deux sorties tel qu’illustré. Vous devez mettre des croix aux endroits où vous voulez que les connections soient effectuées (dans la section programmable).

Réponse

Question

Considérez le circuit logique ci-dessous. Le signal \(A\) passe de 0 à 1 l’instant 15 ns; le signal \(B\) passe de 1 à 0 à l’instant 15 ns; le signal \(C\) passe de 1 à 0 à l’instant 60 ns.

1. Complétez un chronogramme qui montre les traces pour chacun des signaux d’entrée \(A, B, C\) et de sortie \(T, U, V, X, Y, Z_1, Z_2, Z_3, F\), en supposant un temps de propagation de 10 ns pour toutes les portes. Identifiez clairement sur le chronogramme les temps de propagation et les éventuels problèmes (glitchs) occasionnés par les délais.

2. Identifiez la fonction logique réalisée par ce circuit logique.

3. Déterminer le délai de propagation (des entrées à la sortie) maximal pour ce circuit, et précisez le chemin critique.

4. Si ce circuit doit être utilisé à répétition, de façon périodique, quelle est la plus courte période qu’on puisse utiliser tout en étant sûr que le circuit fonctionne correctement.

5. On désire remplacer ce circuit par un circuit à trois niveaux logiques. Donnez le schéma d’un circuit en forme somme de produit qui remplit la même fonction.

6. Donnez le délai de propagation maximal pour le nouveau circuit somme de produit.

Réponse

1. Chronogramme

   

2. Fonction logique \(F = A \oplus B\)

3. Délai de longueur 4, en passant par \(T\), \(Y\) et \(Z_1\).

4. On doit attendre le temps d’un délai de propagation pour être certain que le circuit fonctionne correctement.

6. Délai de longueur 3.

---