Il est aussi possible de représenter des nombres fractionnaires en base 2. En gardant à l’esprit que la position d’un bit détermine sa valeur, il suffit d’étendre le principe déjà établi aux bits qui seront placés après la virgule qui sépare la partie entière de la partie fractionnaire. Les indices des positions à droite de la virgule seront négatifs.
Le tableau 7 donne en exemple le détail de l’évaluation de la valeur du nombre fractionnaire (101,11)2. On obtient comme valeur \(1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 1/2 + 1 \times 1/4 = 5,75\).
| Position | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 |
|---|---|---|---|---|---|
| Valeur | $$2^2$$ | $$2^1$$ | $$2^0$$ | $$2^{-1}$$ | $$2^{-2}$$ |
| Valeur déc. | 4 | 2 | 1 | 1/2 | 1/4 |
| Bit | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Il est possible de transposer les opérations arithmétiques habituelles pour effectuer différentes opérations arithmétiques: addition, soustraction, multiplication, division, avec des nombres binaires. Nous verrons plus loin comment ces opérations s’exécutent lorsque nous aurons établi les formes d’encodages binaires qui seront utilisés pour les nombres, notamment la représentation des nombres signés.
Pour multiplier un nombre binaire non signé par deux, il suffit de décaler tous ses bits d’une position vers la gauche. Si le nombre est entier, on devra insérer un zéro à la position zéro. Si le nombre est fractionnaire, le bit le plus significatif de la partie fractionnaire se retrouvera à la position zéro.
\((10011)2 \times 2 = (100110)2\) \((100,11)2 \times 2 = (1001,1)2\)
Pour diviser un nombre binaire par deux, il suffit de décaler tous ses bits d’une position vers la droite. Une division fractionnaire produira possiblement un nombre fractionnaire, comme dans l’exemple suivant.
Division fractionnaire
\[(10011)2 \div 2 = (1001,1)2\]Division entière
Pour une division entière (sans fraction), on éliminera le bit qui aurait été placé après la virgule.
\[(10011)2 \div 2 = (1001)2\]Il est évident de généraliser ces opérations pour les multiplications ou divisions par des puissances de 2: par 4, 8, 16, etc.