Logique binaire

La logique binaire associe une valeur de vérité à des variables, selon une convention préétablie. Ces valeurs de vérité sont binaires, à savoir, vrai ou faux. Pour représenter ces valeurs de vérité, on peut utiliser un encodage binaire, comme par exemple

Valeur de vérité Valeur binaire
Vrai 1
Faux 0

Variable binaire

Une variable binaire, dénotée par une lettre, permet de désigner une valeur binaire pouvant assumer une des deux valeurs possible, 0 ou 1. La variable est typiquement associée à une proposition, à l’état d’un élément ou à toute autre condition pouvant admettre deux états distincts. En assignant une valeur binaire à la variable, on définit une valeur de vérité associée à cette variable, et ainsi à la condition qu’elle représente. Par exemple, soit S une variable binaire qui représente la proposition «le soleil est visible». Alors, S=0 peut s’interpréter comme «le soleil est visible est faux» ou «le soleil n’est pas visible».

Opérations logiques

Trois opérations logiques de base permettent d’agir sur des variables binaires, de les combiner et de formuler des expressions logiques à partir d’elles.

  1. ET: cette opération est représentée (comme la multiplication) par un point central ou par l’absence de signe d’opérateur entre les arguments. Par exemple, xy ou xy. La valeur de l’expression est 1 si et seulement si toutes les variables ont la valeur 1. Sinon, la valeur est 0.
  2. OU: cette opération est représentée (comme l’addition) par un signe +. Par exemple, x+y. La valeur de l’expression est 1 si au moins une des variables a la valeur 1. Si aucune des variables ne vaut 1, la valeur de l’expression est 0.
  3. NON: cette opération est représentée par un prime, comme par exemple x, ou par une barre au-dessus de la variable x. L’opération NON renverse la valeur binaire de son argument: si x=0 alors x=1; si x=1 alors x=0. Cette opération de négation, est aussi appelée complément, car complémenter une valeur binaire revient à faire basculer sa valeur.

Expression logique

Une expression logique combine des variables logiques et des opérations et peut donc assumer une valeur binaire logique. Cette valeur logique peut être assignée à une autre variable, en créant ainsi une équation logique. Par exemple, z=xy signifie que z assume la valeur de l’expression xy. À partir des valeurs logiques des variables (entrées) x et y, on peut donc déterminer la valeur logique de la sortie z.

Tableaux de vérité

On peut décrire la valeur logique d’une variable de sortie en fonction des valeurs possibles des variables d’entrée au moyen d’un tableau de vérité. Dans un tel tableau, il y a une ligne pour chaque combinaison possible des valeurs d’entrée et, sur chaque ligne, on indique la valeur de sortie correspondante. C’est en quelque sorte une description en extension de la valeur de l’expression de sortie.

Voici par exemple les tableaux de vérité pour les opérations de base.

Opération ET:

x y   xy
0 0   0
0 1   0
1 0   0
1 1   1

Opération OU:

x y   x+y
0 0   0
0 1   1
1 0   1
1 1   1

Opération complément:

x   x
0   1
1   0

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