Soustraction
Pour effectuer une soustraction \(A - B\), il faut effectuer \(A + (-B)\), c’est-à-dire additionner le complément à deux de \(B\) à \(A\). On détermine le complément à deux en obtenant d’abord le complément à un en complémentant chaque bit et en additionnant ensuite 1 à cette valeur par le biais de l’entrée de retenue de l’additionneur. Il est ainsi possible de concevoir un additionneur/soustracteur commandé par un signal de contrôle \(O\). Si \(O=0\), le circuit calcule \(A + (B)\) et si \(O=1\), le circuit calcule \(A + (-B)\).
La complémentation de \(B\) se fait au moyen de portes XOR qui calculent \(O \operatorname{XOR} b_i\) et dont la sortie est acheminée à l’entrée \(B\) de l’additionneur. Lorsque que \(O=1\), leur sortie vaut \(b_i^\prime\).
Circuit additionneur/soustracteur 4 bits
Débordements
Un additionneur ou un soustracteur est conçu en fonction d’une taille de nombres \(n\). Lorsque le résultat de l’opération dépasse la limite pouvant être représentée, on doit détecter cette condition et la signaler par un signal binaire.
Le cas de l’addition de nombres non signés est le plus simple. Il suffit de surveiller la retenue du niveau le plus significatif. Une retenue de 1 signifie un débordement de l’addition.
Les calculs avec des nombres signés en complément à deux peuvent aussi occasionner des débordements, mais la détection doit tenir compte des bits qui indiquent le signe des nombres.
L’addition de deux nombres de signes différents ne peut pas occasionner de débordement, puisque la valeur absolue du résultat sera nécessairement moindre que celle du plus grand des nombres initiaux. Un débordement ne peut donc se produire que si les deux nombres additionnés sont de même signe, deux positifs ou deux négatifs.
Prenons le cas de nombres représentés sur huit bits en complément à deux. La gamme représentable va de -128 à +127 avec un bit qui représente le signe. Si on additionne (+50)10 = (00110010)2 avec (+100)10 = (01100100)2, on aura un débordement, car \(150 > 127\). On voit dans le tableau suivant les bits qui seront produits par l’addition, avec en évidence les retenues des deux derniers niveaux. Le bit de signe a été séparé des autres.
| Retenues | 0 | 1 | |
|---|---|---|---|
| 0 | 011 0010 | ||
| 0 | 110 0100 | ||
| 1 | 001 0110 |
Refaisons le même exercice avec deux nombres négatifs: on additionne (-50)10 = (1100 1110)2 avec (-100)10 = (1001 1100)2, qui créera aussi un débordement.
| Retenues | 1 | 0 | |
|---|---|---|---|
| 1 | 100 1110 | ||
| 1 | 001 1100 | ||
| 0 | 110 1010 |
On peut dans les deux cas détecter le débordement en observant que la retenue du dernier niveau et la retenue de l’avant-dernier niveau sont différentes. On peut vérifier facilement que les autres cas sans débordement donnent des retenues égales. Donc, si on fait un OU-exclusif entre ces deux retenues, un résultat 1 indiquera un débordement. Ce mécanisme de détection de débordement a été ajouté au circuit additionneur/soustracteur 4 bits dans la figure suivante pour générer le signal \(D\) qui indique un débordement.
“Circuit additionneur/soustracteur 4 bits avec débordement