Comparateur de magnitude
Comparer la magnitude de deux nombres binaires est une opération qui peut se systématiser, comme on l’a fait pour l’addition. Considérons deux nombres binaires non signés, \(A\) et \(B\) de même taille \(n\), avec leurs bits respectifs \(a_i\) et \(b_i\). Nous voulons que notre comparateur active une des trois sorties, selon le cas: \(A < B\), \(A = B\) ou \(A > B\). Pour illustrer, nous considérerons \(n = 4\).
\[a_3 a_2 a_1 a_0\] \[b_3 b_2 b_1 b_0\]Nous aurons besoin d’une fonction qui permet de déterminer si deux bits sont égaux. Cette fonction correspond à la fonction Équivalence ou NOR-exclusif \(a_i b_i + a_i^\prime b_i^\prime\). Si les bits diffèrent en position \(i\), \(a_i = 1\) nous permet de conclure que \(A > B\), et, à l’inverse, \(a_i = 0\) nous indique que \(A < B\). Nous avons ainsi les éléments qui permettent d’effectuer une comparaison pour un bit, comme on peut en voir l’implémentation sur la figure suivante.
Comparateur de magnitude
Notre démarche de conception pour \(n\) bits sera calquée sur la procédure que nous utilisons intuitivement pour faire une telle comparaison. La comparaison commence au niveau du bit le plus significatif. Si ces bits sont égaux, on considère la position suivante, jusqu’à atteindre une position \(i\) où les bits diffèrent ou jusqu’à atteindre la fin des nombres \(i=0\). Si les bits diffèrent en position \(i\), \(a_i = 1\) nous permet de conclure que \(A > B\), alors que \(a_i = 0\) nous indique que \(A < B\).
Les signaux intermédiaires \(x_i = a_i b_i + a_i^\prime b_i^\prime\) qui indiquent si deux bits d’une position sont égaux seront mis à profit pour alimenter un réseau de conditions en forme somme de produits qui mettront en application les règles énoncées. Les signaux de sortie binaires sont \((A = B), (A < B), (A > B)\). D’une part, la régularité des opérations simplifie la conception et, d’autre part, l’implémentation sera simplifiée du fait que certains des termes nécessaires peuvent être réutilisés.
\[(A = B) = x_3 x_2 x_1 x_0\] \[(A < B) = a_3^\prime b_3 + x_3 a_2^\prime b_2 + x_3 x_2 a_1^\prime b_1 + x_3 x_2 x_1 a_0^\prime b_0\] \[(A > B) = a_3 b_3^\prime + x_3 a_2 b_2^\prime + x_3 x_2 a_1 b_1^\prime + x_3 x_2 x_1 a_0 b_0^\prime\]On obtient ainsi un comparateur pour des nombres de quatre bits, tel qu’illustré.
Comparateur de magnitude 4 bits